MATERI 3. PEMETAAN INVERS

Misalkan A dan B himpunan sebarang, kemudian didefinisikan suatu pemetaan f dari A ke B dan dinotasikan dengan . Misalkan maka maka himpunan semua elemen dari A yang mempunyai peta (bayangan) b, dinotasikan dengan :

Himpunan disebut himpunan prapeta (bayangan invers) dari b oleh pemetaan f. Selanjutnya apabila terdapat himpunan , maka berarti adalah suatu himpunan bagian dari A, atau ditulis . Himpunan bagian ini dapat merupakan himpunan kosong atau himpunan dengan satu elemen atau lebih. Apabila bersifat bijektif maka untuk setiap maka hanya terdiri atas satu elemen dari A.

Dalam hal ini kita dapat memasangkan setiap dengan tepat satu elemen dalam A, sehingga merupakan pemetaan dari B ke A dan dinotasikan dengan :

Jadi, apabila suatu pemetaan bijektif, maka juga merupakan suatu pemetaan dan dinamakan fungsi (pemetaan) invers dari f.

Contoh 2.1

Misalkan dan sebarang himpunan, didefinisikan pemetaan sebagai berikut:

, ,

Perlu diperhatikan dan sehingga f bukan pemetaan injektif (Injection), f juga bukan pemetaan surjektif (Surjection). Sehingga dapat disimpulkan bukanlah suatu pemetaan invers. Dalam hal ini terlihat juga dan .

Contoh 2.2

Misalkan R adalah himpunan semua bilangan real dan pemetaan yang didefinisikan:

Tunjukkan apakah f mempunyai pemetaan invers, jika mempunyai pemetaan invers tunjukkan definisi pemetaan invers tersebut.

Bukti:

Akan diselidiki apakah f merupakan pemetaan injektif.

Ambil sebarang maka berlaku

       
       
       

Terbukti untuk sebarang berlaku apabila maka . Berarti pemetaan f bersifat injektif.

Selanjutnya ambil sebarang , maka terdapat dengan , sedemikian hingga berlaku

        

                    

Karena untuk sebarang terdapat sedemikian hingga , berarti f bersifat surjektif.

Karena f bersifat injektif dan surjektif maka f bersifat bijektif.

Karena f bersifat bijektif berarti f mempunyai invers dan invers f ditulis . Adapun definisi sebagai berikut:

Misalkan sehingga .

Jadi didefinisikan oleh:

, .

Contoh 2.3

Misalkan R adalah himpunan semua bilangan real. dan . Pada R diberikan pemetaan dengan definisi sebagai berikut:

,

Tunjukkan f mempunyai pemetaan bijektif dan tentukan rumus yang mendefinisikan .

Bukti :

Ambil sebarang sedemikian hingga berlaku

          

         

Jadi pemetaan bersifat injektif.

Ambil sebarang sedemikian hingga berlaku dan .

Jadi f merupakan pemetaan surjektif.

Karena f bersifat injektif dan surjektif maka bersifat bijektif.

Selanjutnya akan ditunjukkan definisi . Misalkan sehingga .

Jadi didefinisikan oleh:

, .

Contoh 2.4

Misalkan R adalah himpunan semua bilangan real, diberikan pemetaan dan dengan definisi:

, dan

,

Tentukan rumus-rumus yang mendefinisikan pemetaan komposisi:

(i).

(ii).

(iii).

Bukti :

(i). Ambil sebarang sedemikian hingga berlaku:

                

                

                

(ii). Ambil sebarang sedemikian hingga berlaku:

                

                

(iii). Ambil sebarang sedemikian hingga berlaku:

 

                 

                 

Contoh 2.5

Misalkan R adalah himpunan semua bilangan real, diberikan pemetaan dengan definisi:

,

Tunjukkan f mempunyai pemetaan bijektif dan tentukan rumus yang mendefinisikan:

(i).

(ii).

(iii).

(iv).

Bukti :

(i). Ambil sebarang sedemikian hingga berlaku:

              

Jadi .

(ii). Ambil sebarang sedemikian hingga berlaku:

                 

                  .

(iii). Ambil sebarang sedemikian hingga berlaku:

                       

                        .

(iv). Ambil sebarang sedemikian hingga berlaku:

                    

                     .

Dalam hal ini dapat ditulis ,

jadi karena diambil sebarang maka berlaku .
 


 | Kata Pengantar | Semigrup dan Monoid | Invers dalam Monoid | Pemetaan Invers 
| Konsep Group | Subgrup | Daftar Pustaka |